NLMagazine Wetenschap - 16 december is een bijzondere wiskundige feestdag: het is de Dag van de stelling van Pythagoras! Want: 162 + 122 = 202. Deze feestdag komt niet vaak voor. De vorige editie was op 15 augustus 2017, de volgende is pas op 24 juli 2025. En op 24 oktober 2026 vieren we alweer de laatste Pythagoras-dag van deze eeuw.
De stelling van Pythagoras wordt meestal geschreven als a2 + b2 = c2. Deze formule geeft het verband tussen de lengte van de zijden van een rechthoekige driehoek. Dat is een driehoek met één hoek van 90 graden.
Even terug naar school: de stelling van Pythagoras
De letters a en b staan voor de lengte van de twee rechte zijden, c voor de lengte van de schuine zijde. Als je weet hoe lang twee van die drie zijden zijn, kun je via de stelling van Pythagoras dus de lengte van de derde zijde uitrekenen.
Pythagorese drietallen
Vaak komt daar geen geheel getal uit. Als de twee rechte zijden bijvoorbeeld allebei 1 zijn (1 meter, of 1 nanometer, wat je wilt), dan is c2 gelijk aan 2. De schuine zijde is dan de wortel van 2, oftewel 1,41421…
Toch zijn er wel combinaties van drie gehele getallen die aan de stelling van Pythagoras voldoen. Deze combinaties heten pythagorese drietallen. Het simpelste voorbeeld is het drietal 3, 4, 5, want 32 + 42 = 52.
Elk veelvoud van zo’n combinatie is zelf ook een pythagorees drietal. Wanneer je bijvoorbeeld bovenstaand drietal met vier vermenigvuldigt, krijg je het drietal 12, 16, 20. En daarom is vandaag dus de Dag van de stelling van Pythagoras.
Babyloniërs
Veel pythagorese drietallen waren meer dan duizend jaar voor de geboorte van Pythagoras al bekend bij de Babyloniërs. Op het kleitablet Plimpton 322, geschreven rond 1700 voor Christus, staan er bijvoorbeeld vijftien, waarvan het drietal 12.709, 13.500, 18.541 het indrukwekkendst is.
Wel was Pythagoras volgens de overlevering de eerste die wiskundig bewees dat deze getallen in verband staan met rechthoekige driehoeken. Daarom zijn de stelling en de drietallen uiteindelijk naar hem vernoemd.
Primitievelingen
Enkele eeuwen na Pythagoras bedacht zijn landgenoot Euclides een manier om primitieve pythagorese drietallen te vinden. Dat zijn drietallen die geen veelvoud zijn van een ander drietal.
Die manier gaat als volgt: neem twee positieve gehele getallen m en n, waarbij m groter is dan n. Dan vind je de primitievelingen via deze formules: a = m2 – n2, b= 2 × m × n, c = m2 + n2.
Vul maar eens voor m en n respectievelijk 2 en 1 in, dan rolt het oerdrietal 3, 4, 5 er vanzelf uit.
Oneindig veel
Met Euclides’ methode kun je alle primitieve pythagorese drietallen vinden. Al gaat dat je nooit lukken; aangezien er oneindig veel positieve gehele getallen zijn, zijn er ook oneindig veel van dit soort drietallen.
Daarentegen kun je via de truc van Euclides niet elk veelvoud-drietal vinden. De combinatie 9, 12, 15 – het drievoud van 3, 4, 5 – is bijvoorbeeld niet te ontleden in m en n.
16-12-2020 is dat wel. Kun jij de getallen m en n vinden die bij 16-12-20 horen?
Yannick Fritschy
